UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 8 Application of Integrals

प्रश्नावली 8.1

प्रश्न 1.
वक्र y² = x, रेखाओं x = 1,y = 4 एवं x-अक्ष से धिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल-
अभीष्ट क्षेत्रफल

प्रश्न 2.
प्रथम चतुर्थांश में वक्र y² = 9x, x = 2 x = 4 एवं x-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल-
अभीष्ट क्षेत्रफल

प्रश्न 3.
प्रथम चतुर्थांश में x² = 4y, y = 2 y = 4 एवं y-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल-
दिया हुआ वक्र x² = 4y, y-अक्ष के प्रति सममित है। तथा हमें प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्रफल ज्ञात करना
∴ अभीष्ट क्षेत्रफल = क्षेत्रफल ABCDA

प्रश्न 4
दीर्घवृत्त $\frac { { x }^{ 2 } }{ 16 } +\frac { { y }^{ 2 } }{ 9 } =1$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल-

प्रश्न 5.
दीर्घवृत्त $\frac { { x }^{ 2 } }{ 4 } +\frac { { y }^{ 2 } }{ 9 } =1$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल-
दिया है, दीर्घवृत्त का समीकरण
$\frac { { x }^{ 2 } }{ 4 } +\frac { { y }^{ 2 } }{ 9 } =1$
∵ 9 > 4

प्रश्न 6.
प्रथम चतुर्थांश में वृत्त x² + y² = 4, रेखा x = √3 y एवं x-अक्ष द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल-
दिए गए वृत्त का समीकरण x² + y² = 4 है जिसका केन्द्र (0, 0) और त्रिज्या 2 के समान

प्रश्न 7.
छेदक रेखा $x=\frac { a }{ \sqrt { 2 } }$ द्वारा वृत्त x² + y² = a² के छोटे भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए
हल-
अभीष्ट क्षेत्रफल = 2 (क्षेत्रफल MAPM)
(क्योंकि वृत्त x-अक्ष के प्रति सममित है)

प्रश्न 8.
यदि वक्र x = y² एवं रेखा x = 4 से घिरा हुआ क्षेत्रफल रेखा x = a द्वारा दो बराबर भागों में विभाजित होता है। तो a का मान ज्ञात कीजिए।
हल-
दिया गया वक्र
x = y² …(1)
एवं रेखा x = 4 ..(2)
(1) एक परवलय है जिसको शीर्ष (0, 0) है तथा (2) एक रेखा है जो कि y-अक्ष के समान्तर है तथा इससे 4 इकाई दूरी पर है। माना रेखा x = a, क्षेत्रफल को दो बराबर भागों में विभाजित करती है। इसलिए कुल क्षेत्रफल

प्रश्न 9.
परवलय y = x² एवं y = |x| से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल-
दिया हुआ परवलय
y = x² y-अक्ष के प्रति सममित है।
परवलय y = x² व y = x के प्रतिच्छेद बिन्दु के लिए।
y = x² में y = x रखने पर,
⇒x = x²
⇒x(x – 1) = 0
⇒x = 0, x = 1
पुन: चूँकि y = |x| ∴y = x, – x y = 1, -1
अत: अभीष्ट प्रतिच्छेद बिन्दु (-1, 1), (0, 0) व (1, 1)
इसलिए अभीष्ट क्षेत्रफल = 2 [क्षेत्रफल ∆APO – क्षेत्रफल ∆OAP]

प्रश्न 10.
वक्र x² = 4y एवं रेखा x = 4y – 2 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल-
दिया गया वक्र x² = 4y ….(1)
तथा दी गई रेखा x = 4y – 2 …(2)
(1) और (2) को हल करने पर,
(4y – 2)² = 4y
या 16y² – 16y + 4 – 4y = 0
या 16y² – 20y + 4 = 0
या 4y² – 5y + 1 = 0
या (y – 1)(4y – 1) = 0

प्रश्न 11.
वक्र y² = 4 एवं रेखा x = 3 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल-
दिया गया वक्र y² = 4x, एक परवलय का समीकरण है। जिसका शीर्ष (0, 0) है और OX इसका अक्ष है जिसके सापेक्ष परवलय सममित है तथा रेखा का समीकरण x = 3 है।
y² = 4x …(1)
में x = 3 रखने पर,
y² = 4 x 3 = 12
⇒ y = √12
∴अभीष्ट क्षेत्रफल = क्षेत्र OPQ का. क्षेत्रफल
= 2 x OLQ का क्षेत्रफल
(केवल प्रथम चतुर्थांश में छायांकित क्षेत्र)

अत: अभीष्ट क्षेत्रफल 8√3 वर्ग इकाई है।

प्रश्न 12.

प्रश्न 13.

प्रश्नावली 8.2

प्रश्न 1.
परवलय x² = 4y और वृत्त 4x² + 4y² = 9 के मध्यवर्ती क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल-
दिए गए वृत्त का समीकरण 4x² + 4y² = 9 तथा परवलय का समीकरण x² = 4y है।
परवलय x² = 4y का शीर्ष (0, 0) है और OY सममित रेखा है।

प्रश्न 2.
दो वृत्तों x² + y² = 1 एवं (x – 1)² + y =1 से आबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल-
दिए हुए वृत्तों के समीकरण हैं– x² + y² = 1 …(1)
(x – 1)² + y = 1 …(2)
समीकरण (1) ऐसा वृत्त है जिसका केन्द्र मूल बिन्दु O पर है। और जिसकी त्रिज्या 1 इकाई है। समीकरण (2) एक ऐसा वृत्त है।
जिसका केन्द्र C(1, 0) है और जिसकी त्रिज्या 1 इकाई है।
समीकरण (1) और (2) को हल करने पर,
(x – 1)² + y² = x² + y²
या x² – 2x + 1 + y² = x² + y²

प्रश्न 3.
वक्रों y = x² + 2, y = x, x = 0 एवं x = 3 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल-
दिए गये वक्रों के समीकरण y = x² + 2 …(1)
y = x …(2)
x = 0 …(3)
x = 3 …(4)
अभीष्ट क्षेत्रफल = छायांकित क्षेत्रफल

प्रश्न 4.
समाकलन का उपयोग करते हुए एक ऐसे त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष (-1, 0), (1, 3) एवं (3, 2) हैं।
हल-
माना दिए हुए तीन बिन्दु A(-1, 0), B (1, 3) तथा C (3, 2) हैं।
हम जानते हैं कि, बिन्दु (x1, y1), (x2, y2) को मिलाने वाली रेखा की समीकरण

समीकरण (4) में ∆ ABL, समलम्ब BCML तथा ∆ ACM के क्षेत्रफलों के मान रखने पर, ∆ABC का क्षेत्रफल = 3 + 5 – 4 = 4 वर्ग इकाई

प्रश्न 5.
समाकलन का उपयोग करते हुए एक ऐसे त्रिकोणीय क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी भुजाओं के समीकरण y = 2x + 1,y = 3x + 1 एवं = 4 हैं।
हल-
भुजाओं के समीकरण

y = 2x + 1 ..(1)
y = 3x + 1 ..(2)
x = 4 ..(3)
(1) और (2) को हल करने पर,
2x + 1 = 3x + 1 ⇒ x = 0 ∴ y = 1
∴(1) और (2) का प्रतिच्छेद बिन्दु (0, 1) है।
(1) और (3) को हल करने पर,
y = 8 + 1 = 9
∴(1) और (3) का प्रतिच्छेद बिन्दु (4, 9) है।
(2) और (3) को हल करने पर, y = 12 + 1 = 13; x = 4
∴(2) और (3) का प्रतिच्छेद बिन्दु (4, 13) है।

प्रश्न 6.

प्रश्न 7.

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