UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability

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प्रश्नावली 5.1

प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) = 5x – 3, x = 0, x = – 3 तथा x = 5 पर संतत है।
हल-
यहाँ, f(x) = 5x – 3

(iii) उपरोक्त की भाँति स्वयं हल कीजिए।
नोट-चूँकि दिया गया फलन f(x) = 5x – 3 बहुपद है।
∴ यह ∀ x ∈ R के लिए संतत है।

प्रश्न 2.
x = 3 पर फलन f(x) = 2x² – 1 के सातत्य की जाँच कीजिए।
हल-
यहाँ, f(x) = 2x -1

अतः x = 3 पर f संतत है।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित फलनों के सांतत्य की जाँच कीजिए

हल-
(a) f(x) = x – 5
∵ (x – 5) एक बहुपद है।
अत: प्रत्येक बिन्दु x∈R पर f संतत है।

प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) = xⁿ, x = n पर संतत है, जहाँ n एक धन पूर्णाक है।
हल-
दिया है- f(x) = xⁿ एक बहुपदीय फलन है।
संतत है, यदि x ∈ R तथा x ∈ N
यहाँ x = n एक पूर्णांक है।
अत: f(x) = xⁿ संतत फलन है।

प्रश्न 5.

हल-
x = 0 तथा x = 2 पर फलन एक बहुपद है।
अतः x = 0 तथा x = 2 पर फलन सतत है।
x = 1 पर, f(x) = x, x<1 के लिए, f(x) = 5, x>1 के लिए

प्रश्न 6.
f के सभी असातत्य बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जबकि f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है।

हल-

प्रश्न 7.
f के सभी असातत्य बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जबकि f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है।

हल-

प्रश्न 8.
f के सभी असातत्य बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जबकि f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है।

हल-

प्रश्न 9.

हल-

प्रश्न 10.

हल-

प्रश्न 11.

हल-

प्रश्न 12.

हल-

प्रश्न 13.
क्या

द्वारा परिभाषित फलन, एक संतत फलन है?
हल-

प्रश्न 14.

हल-

प्रश्न 15.

हल-

प्रश्न 16.

हल-

प्रश्न 17.
a और b के उन मानों को ज्ञात कीजिए जिनके लिए

द्वारा परिभाषित फलन x = 3 पर संतत है।
हल-

स्वेच्छा से b के मान के लिए a का मान ज्ञात किया जा सकता हैं।

प्रश्न 18.
λ के किस मान के लिए।

यदि x = 0 द्वारा परिभाषित फलन x = 0 पर संतत है। x = 1 पर इसके सातत्य पर विचार कीजिए।
हल-

प्रश्न 19.
दर्शाइए कि g(x) = x – [x] द्वारा परिभाषित फलन समस्त पूर्णाक बिन्दुओं पर असंतत है। यहाँ [x] उस महत्तम पूर्णांक निरूपित करता है, जो x के बराबर अथवी x से कम है।
हल-
x = c पूर्णांक पर, g(x) = x – [x]

अतः x = c पूर्णाक पर, f संतत नहीं है।

प्रश्न 20.
क्या f(x) = x² – sin x + 5 द्वारा परिभाषित फलन x = π पर संतत है?
हल-
माना
f(x) = x² – sin x + 5

प्रश्न 21.
निम्नलिखित फलनों के सांतत्य पर विचार कीजिए
(a) f(x) = sin x + cos x
(b) f(x) = sin x – cos x
(c) f(x) = sin x.cos x
हल-

प्रश्न 22.
cosine, cosecant, secant और cotangent फलनों के सातत्य पर विचार कीजिए।
हल-
(a) माना f(x) = cos x

प्रश्न 23.
f के सभी असातत्यता के बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए, जहाँ

हल-

प्रश्न 24.
निम्न प्रकार से परिभाषित फलन की सातत्यता की जाँच x = 0 पर कीजिए

हल-

प्रश्न 25.

हल-

प्रश्न 26.

हल-

प्रश्न 27.

द्वारा परिभाषित फलन x = 2 पर।
हल-

प्रश्न 28.
k का मान ज्ञात कीजिए यदि फलन

द्वारा परिभाषित फलन x = π पर सतत् है।
हल-

प्रश्न 29.

द्वारा परिभाषित फलने x = 5 पर।
हल-

प्रश्न 30.
a तथा b के मानों को ज्ञात कीजिए ताकि

द्वारा परिभाषित फलन एक संतत फलन हो।
हल-

प्रश्न 31.
दर्शाइए कि f(x) = c0s x² द्वारा परिभाषित फलन एक संतत फलन है।
हल-
ज्ञात है- f(x) = cos x²

f(c) = cos c²
अत: f(x) = cos x² एक संतत फलन है। इति सिद्धम्

प्रश्न 32.
दर्शाइए कि f(x) =| cos x| द्वारा परिभाषित फलन एक संतत फलन है।
हल-
ज्ञात है- f(x) = | cos x|
माना x = c ∈ R पर,

f(c) = | cos c|
अतः x = c ∈ R पर F एक संतत फलन है।। इति सिद्धम्

प्रश्न 33.
जाँचिए कि क्या sin|x| एक संतत फलन है।
हल-
माना f(x) = sin | x|
x = c ∈ R पर,

f(c) = sin|c|
अतः x = c ∈ R पर f एक संतते फलन है।।

प्रश्नावली 5.2

प्रश्न 1 से 8 में x के सापेक्ष निम्नलिखित फलनों का अवकलन कीजिए

प्रश्न 1.
sin(x²+5)
हल-
माना y = sin(x²+5)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

= cos (x² + 5) (2x + 0)
= 2x cos (x² + 5)

प्रश्न 2.
cos (sin x)
हल-
माना y = cos (sin x)
माना sin x = t
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर, 
∴ y = cos t से,
दोनों पक्षों का t के सापेक्ष अवकलन करने

= – sin t cos x = -sin (sin x)cos x

प्रश्न 3.
sin (ax+b)
हल-
माना y = sin (ax + b)
ax+ b = t रखने पर, y = sin t
दोनों पक्षों का है के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 4.
sec (tan√x)
हल-
माना y = sec (tan (√x))
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 5.

हल-
माना …(1)

प्रश्न 6.
cos x³.sin² x⁵
हल-
माना y = cos x³.sin² x⁵
समी० (1) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 7.

हल-
माना 

प्रश्न 8.
cos(√x)
हल-
माना y = cos(√x) ….(1)
समी० (1) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 9.
सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) =|x – 1|, x ∈ R, x = 1 पर अवकलित नहीं है।
हल-
दिया है- f (x) = |x – 1| x∈R

R.H.D. ≠ L.H.D.
अत: x = 1 पर f अवकलनीय नहीं है। इति सिद्धम्

प्रश्न 10.
सिद्ध कीजिए कि महत्तम पूर्णाक फलन f(x) = [x],0 < x < 3, x = 1 तथा x = 2 पर अवकलित नहीं है।
हल-
ज्ञात है, f(x) = [x]

प्रश्नावली 5.3

निम्नलिखित प्रश्नों में ज्ञात कीजिए

प्रश्न 1
2x + 3y = sinx
हल-
ज्ञात है, 2x + 3y = sin x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 2
2x + 3y = siny
हल-
दिया है- 2x + 3y = siny
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 3
ax + by² = cosy
हल-
ज्ञात है- ax + by² = cosy
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 4
xy + y² = tan x + y
हल-
दिया है xy + y² = tan x + y
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 5
x² + xy + y² = 100
हल-
दिया है x² + xy + y² = 100
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 6
x³ + x²y + xy² + y³ = 81
हल-
दिया है x³ + x²y + xy² + y³ = 81
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 7
sin² y + cos xy = k
हल-
दिया है sin² y + cos xy = k
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 8
sin² x + cos² y = 1
हल-
दिया है sin² x + cos² y = 1
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 9.

हल-
दिया है-

प्रश्न 10.

हल-

प्रश्न 11.

हल-

प्रश्न 12.

हल-

प्रश्न 13.

हल-

प्रश्न 14.

हल-

प्रश्न 15.

हल-

प्रश्नावली 5.4

निम्नलिखित का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए

प्रश्न 1

हल-
माना

दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 2

हल-
माना

दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 3

हल-
माना

दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 4
sin(tan^-1 e^x)
हल-
माना sin(tan^-1 e^x)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 5
log(cos e^x)
हल-
माना log(cos e^x)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 6

हल-
माना

दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 7

हल-
माना

दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 8
log(log x), x>1
हल-
माना log(log x), x>1
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 9

हल-
माना

दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 10
cos(log x + e^x)
हल-
माना cos(log x + e^x)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्नावली 5.5

प्रश्न 1 से 11 तक के प्रश्नों में प्रदत्त फलनों का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए

प्रश्न 1.
cos x.cos 2x.cos 3x
हल-
माना y = cos x. cos 2x. cos 3x …(1)
दोनों पक्षों को लघुगणक लेने पर,
logy = log (cos x. cos2x. cos 3x)
= log cos x + log cos 2 x + log cos 3x
[∵ log m.n = log m + log n]
दोनों पक्षों में x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 2.

हल-

प्रश्न 3.
(log x)^{cos x}
हल-
माना y = (log x)^{cos x}
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,
log y = log (log x)^{cos x} = cos x log (log x), [∵log mⁿ = n log m]
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 4.
x^x – 2^{sin x}
हल-
माना y = x^x – 2^{sin x}
पुनः माना u = x^x, v = 2^{sin x}
y = u – v
u = x^x
से दोनों पक्षों को लघुगणक लेने पर, log u = log x^x = x log x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 5.
(x + 3)² .(x + 4)³ .(x + 5)⁴
हल-
माना y = (x + 3)² .(x + 4)³ .(x + 5)⁴
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,
log y = log [(x + 3)² .(x + 4)³ (x + 5)⁴]
= log (x + 3)² + log (x + 4)³ + log (x + 5)⁴
[∵ log mn = log m + log n]
= 2 log (x + 3) + 3 log (x + 4) + 4 log (x + 5)
[∵ log mⁿ = n log m]
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 6.

हल-

प्रश्न 7.
(log x)^x + x^{log x}
हल-
माना y = (log x)^x + x^{log x}
पुनः माना y = u + v
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 8.
(sin x)^x + sin^-1√x
हल-
माना y = (sin x)^x + sin^-1√x
पुनः माना y = u + v
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 9.
x^{sin x} + (sin x)^{cos x}
हल-
माना x^{sin x} + (sin x)^{cos x}
पुनः माना y = u + v
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 10.

हल-

प्रश्न 11.
(x cos x)^x + (xsin x)^1/x
हल-
माना y = (x cos x)^x + (x sin x)^1/x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 12.
x^y + y^x = 1
हल-
दिया है, ∵ x^y + y^x = 1
माना u = x^y, v = y^x ∵ u + v = 1
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 13.
y^x = x^y
हल-
दिया है, y^x = x^y
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर, log y^x = log x^y
x log y = y log x
दोनों पक्षों में x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 14.
(cos x)^y = (cos y)^x
हल-
दिया है, (cos x)^y = (cos y)^x
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,
log (cos x)^y = log (cos y)^x या y log cos x = x log cos y
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 15.
xy = e^(x-y)
हल-
दिया है, xy = e^(x-y)
दोनों पक्षों को लघुगणक लेने पर,
log (xy) = log e^(x-y)
या log x + log y = (x – y) log_e e [∵ log xy = log x + log y]
या log x + log y = x – y [∵ log_e e = 1]
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 16.
f(x) = (1 + x) (1 + x²) (1 + x⁴) (1 + x⁸) द्वारा प्रदत्त फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए और इस प्रकार f'(1) ज्ञात कीजिए।
हल-
दिया है, f(x) = (1 + x) (1 + x²) (1 + x⁴) (1 + x⁸)
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,
log f (x) = log [(1 + x) (1 + x²) (1 + x⁴) (1 + x⁸)]
या log f(x) = log (1 + x) + log (1 + x²) + log (1 + x⁴) + log (1 + x⁸)

प्रश्न 17.
(x² – 5x + 8) (x³ + 7x + 9) का अवकलन निम्नलिखित तीन प्रकार से कीजिए
(i) गुणनफल नियम का प्रयोग करके
(ii) गुणनफल के विस्तारण द्वारा एक एकल बहुपद प्राप्त करके
(iii) लघुगणकीय अवकलन द्वारा
यह भी सत्यापित कीजिए कि इस प्रकार प्राप्त तीनों उत्तर समान हैं।
हल-
(i) गुणनफल नियम के प्रयोग द्वारा ।
माना y = (x² – 5x + 8). (x³ + 7x + 9)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 18.
यदि u, v और w, x के फलन हैं तो दो विधियों अर्थात् प्रथम गुणनफल नियम की पुनरावृत्ति द्वारा, द्वितीय-लघुगणकीय अवकलन द्वारा दर्शाइए कि ।

हल-
(i) माना y = u . v . w = u. (v. w)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्नावली 5.6

यदि प्रश्न संख्या 1 से 10 तक में तथाy के लिए समीकरणों द्वारा, एक-दूसरे से प्राचलिक रूप में सम्बन्धित हों तो प्राचलों का विलोपन किए बिना ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 1.
x = 2at², y = at⁴
हल-
दिया है, x = 2at² तथा y = at⁴
दोनों पक्षों का है के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 2.
x = a cos θ, y = b cos θ
हल-
दिया है : x = a cos θ तथा y = b cos θ
दोनों पक्षों का θ के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 3.
x = sin t, y = cos 2t
हल-
दिया है, x = sin t तथा y = cos 2t
दोनों पक्षों का है के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 4.
x = 4t, 
हल-
दिया है, x = 4t तथा 
दोनों पक्षों का है के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 5.
x = cos θ – cos 2θ, y = sin θ – sin 2θ
हल-
दिया है, x = cosθ – cos 2θ तथा y = sin θ – sin 2θ
x = cos θ – cos 2θ
दोनों पक्षों का θ के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 6.
x = a(θ – sinθ), y = a(1 + cosθ)
हल-

प्रश्न 7

हल-

प्रश्न 8

हल-

प्रश्न 9.
x = a sec θ, y = b tan θ
हल-
दिया है, x = a sec θ तथा y = b tan θ
दोनों पक्षों का θ के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 10.
x = a (cos θ + θ sin θ), y = a(sin θ – θcos θ)
हल-

प्रश्न 11.

हल-

प्रश्नावली 5.7

प्रश्न संख्या 1 से 10 तक में दिए फलनों के द्वितीय कोटि के अवकलज ज्ञात कीजिए

प्रश्न 1.
x² + 3x + 2
हल-
माना y = x² + 3x + 2
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर, 
दोनों पक्षों का पुन: x में सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 2.
x²⁰
हल-
माना y = x²⁰
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 3.
x cos x
हल-
माना y = x cos x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 4.
log x
हल-
माना y = log x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

दोनों पक्षों को पुन: x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 5.
x³ log x
हल-
माना y = x³ log x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

= 2x + 3x + 6x log x
= 5x + 6x log x
= x (5 + 6 log x)

प्रश्न 6.
e^x sin 5x
हल-
माना y = e^x sin 5x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 7.
e^6x cos 3x
हल-
माना y = e^6x cos 3x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 8.
tan^-1x
हल-
माना y = tan^-1x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 9.
log (log x)
हल-
माना y = log (log x)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 10.
sin (log x)
हल-
माना y = sin (log x)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 11.
यदि y = 5 cos x – 3 sin x है तो सिद्ध कीजिए कि

हल-
दिया है, y = 5 cos x – 3 sin x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 12.
यदि y = cos^-1 x है तो को केवल y के पदों में ज्ञात कीजिए।
हल-
दिया है, y = cos^-1 x
⇒ x = cos y
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 13.

हल-

प्रश्न 14.

हल-

प्रश्न 15

हल-

प्रश्न 16

हल-

प्रश्न 17

हल-

प्रश्नावली 5.8

प्रश्न 1.
फलन f(x) = x² + 2x – 8, x∈[-4,2] के लिए रोले के प्रमेय को सत्यापित कीजिए।
हल-

प्रश्न 2.
जाँच कीजिए कि रोले का प्रमेय निम्नलिखित फलनों में से किन-किन पर लागू होता है? इन उदाहरणों से क्या आप रोले के प्रमेय के विलोम के बारे में कुछ कह सकते हैं?
(i) f(x) = [x] के लिए x∈[5,9]
(ii) f(x) = [x] के लिए x∈[-2,2]
(ii) f(x) = x² – 1 के लिए x∈[1,2]
हल-
(i) f(x) = [x] के लिए x∈[5, 9]
f(x) = [x], बिन्दु x = 6, 7, 8 पर न तो संतत है तथा न ही अवकलनीय है।
∴ यहाँ रोले प्रमेय लागू नहीं है।
(ii) f(x) = [x], x∈[-2, 2]
f(x) = [x], बिन्दु x = -1, 0, 1 पर न तो संतत है तथा न ही अवकलनीय है।
∴ यहाँ रोले प्रमेय लागू नहीं है।
(iii) f(x) = (x² – 1), x∈[1, 2] के लिए
f(1) = 1 – 1 = 0,
f(2) = 2² – 1 = 4 – 1 = 3
f(1) ≠ f(2)
चूँकि f, [1, 2] में संतत है तथा फलन (1, 2) अवकलनीय भी है परन्तु f(1) ≠ f(2).
∴ यहाँ रोले प्रमेय लागू नहीं है।

प्रश्न 3.
यदि f :[-5, 5]→ R एक संतत फलन है और यदि f ‘ (x) किसी भी बिन्दु पर शून्य नहीं होता है तो सिद्ध कीजिए कि f(- 5) ≠ f(5).
हल-
दिया है, f:[-5, 5]→ R
f संतत है तथा अवकलनीय है लेकिन f” (x) ≠ 0
अन्तराल (-5, 5) में रोले प्रमेय के लिए आवश्यक है
(i) [a, b] में f संतत है।
(ii) (a, b) में f अवकलित होता है।
(iii) f(a) = f(b)
f ‘(c) = 0 c ∈(a, b)
f ‘(c) ≠ 0
⇒ f(a) ≠ f(b)
f(- 5) ≠ f(5) इति सिद्धम्

प्रश्न 4.
माध्यमान प्रमेय सत्यापित कीजिए, यदि अन्तराल [a, b] में f(x) = x² – 4x – 3, जहाँ a = 1 और  b = 4 है।
हल-
दिया है, (x) = x² – 4x – 3,[1,4] अन्तराल के लिए f एक बहुपदीय व्यंजक है। यह 1,4 में संतत तथा (1, 4) में अवकलनीय दोनों है।

प्रश्न 5.
माध्यमान प्रमेय सत्यापित कीजिए, यदि अन्तराल [a, b] में f(x) = x³ – 5x² – 3x, जहाँ a = 1 और b = 3 है। f ‘(c) = 0 के लिए c∈(1, 3) को ज्ञात कीजिए।
हल-
दिया है, f(x) = x³ – 5x² – 3x
[1, 3] में f संतत है और (1, 3) में अवकलनीय है क्योकि यह बहुपदीय है।

प्रश्न 6.
प्रश्न संख्या 2 में उपर्युक्त दिए तीनों फलनों के लिए माध्यमान प्रमेय की अनुपयोगिता की जाँच कीजिए।
हल-
(i) f(x) = [x],
x∈[5,9]
दिये हुए अन्तराल (5, 9) में f(x) = [x] बिन्दु x = 6, 7, 8 पर न तो संतत है तथा न ही अवकलनीय है।
माध्यमान प्रमेय लागू नहीं है।
(ii)
f(x) =[x], x ∈[-2, 2 ]
दिये हुए अन्तराल [-2, 2] में f बिन्दु x = -1, 0, 1 पर न तो संतत है तथा न ही अवकलनीय है।
माध्यमान प्रमेय लागू नहीं है।
(iii) f(x) = x² – 1, x ∈[1, 2]
यह एक बहुपदीय फलन है। यह अन्तराल [1,2] में संतत है तथा (1, 2) में अवकलनीय है।