वृत्त और चक्रीय चतुर्भज

अभ्यास 13 (a)

प्रश्न 1.
पार्श्व-चित्र में 0 वृत्त का केंद्र है। वृत्त की त्रिज्या 5 सेमी है। वृत्त की एक जीवा AB है . जिसकी लम्बाई 6 सेमी है। यदि OM LAB, तो OM की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
उत्तर

प्रश्न 2.
पार्श्व-चित्र में O वृत्त का केंद्र है और कृत की त्रिज्या 13 सेमी है। AB कृत की जीवा है। यदि लम्ब OM=5 सेमी, तो जीवा AB की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
उत्तर

प्रश्न 3.
एक वृत्त में एक 10 सेमी लम्बी जीवा खींची गई है जिसकी वृत्त के केंद्र से दूरी 12 सेमी है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
उत्तर

प्रश्न 4.
एक कृत में एक 8 सेमी लम्बी जीवा खींची गई है जिसकी केंद्र से दूरी 3 सेमी है। इस कृत में खींची गई एक अन्य जीवा की लम्बाई ज्ञात कीजिए जसकी केंद्र से दूरी 4 सेमी है।
उत्तर

प्रश्न 5.
पार्श्व-चित्र में वृत्त का केंद्र O है जिसकी एक जीवा AB = 30 मिमी तथा व्यास AC= 34 मिमी। जीवा AB की केंद्र से दूरी OD होगी-
उत्तर

प्रश्न 6.
पार्श्व चित्र में O वृत्त का केंद्र है। त्रिज्या OA = 5.0 सेमी और जीवा AB = 8 सेमी। केंद्र O से जीवा पर लम्ब त्रिज्या OCD खींची गयी है। रेखाखंड CD की माप होगीः
उत्तर

प्रश्न 7.
पार्श्व चित्र में O वृत्त का केंद्र है। यदि OC ⊥ AB, तो निम्नलिखित कथनों में सत्य और असत्य कथन छाँटिएः
उत्तर

अभ्यास 13 (b)

प्रश्न 1.
पार्श्व चित्र में O वृत्त का केंद्र है। इस वृत्त की तीन जीवायें AB, PQ एवं CD इस प्रकार खींची गई हैं कि AB = PQ= CD।
यदि ∠AOB = 65°, तो ∠POQएवं ∠COD के मान क्या होंगे?
उत्तर

प्रश्न 2.
पार्श्व चित्र में O वृत्त का केंद्र है। यदि ∠AOB = ∠COD = 70° और जीवा AB = 2.5 सेमी, तो जीवा CD की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
उत्तर

प्रश्न 3.
बिन्दु O, वृकृत का केंद्र है। कृत के अंतर्गत एक वर्ग ABCD बनाया गया है। वर्ग की भुजा, वृत्त के केंद्र पर कितने अंश का कोण अंतरित करती है?
उत्तर

प्रश्न 4.
एक वृत्त के अंतर्गत एक समबहुभुज बनाया गया है। यदि समबहुभुज की प्रत्येक भुजा वृत्त के केंद्र पर 60° का कोण अंतरित करती है, तो समबहुभुज में भुजाओं की संख्या कितनी हैं?
उत्तर

अभ्यास 13 (c)

प्रश्न 1.
पार्श्व चित्र में बिन्दु O कृत का केंद्र है। कृत के अंतर्गत बने चतुर्भुजों में चक्रीय चतुर्भुज का नाम बताइए।
उत्तर

चतुर्भुज के चारों शीर्ष ABCD एक ही वृत्त पर हैं।
अतः ABCD चक्रीय चतुर्भुज है।

प्रश्न 2.
पार्श्व चित्र में बिन्दु O वृत्त का केंद्र है। A, B, C, D, E तथा F बिन्दु दिए हैं। दिए गए बिन्दुओं में कौन से बिन्दु चक्रीय या एक वृत्तीय हैं?
उत्तर

वृत पर स्थित बिन्दु A, B, E तथा F हैं।
अतः A, B, E तथा । F चक्रीय बिन्दु या एक वृत्तीय हैं।

प्रश्न 3.
पार्श्व चित्र में ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है।
(i) ∠D को सम्मुख कोण बताइए।
(ii) ∠ B का सम्मुख कोण बताइए।
उत्तर

∠A का सम्मुख कोण = ∠C
∠ B का सम्मुख कोण = ∠D

प्रश्न 4.
पार्श्व चित्र को देखिए और निम्नलिखित कथनों में सत्य/असत्य कथन छाँटिएः
उत्तर

अभ्यास 13 (d)

प्रश्न 1. तथा प्रश्न 2. में सही उत्तरे बतलाइए-

प्रश्न 1.
पार्श्व चित्र में चक्रीय चतुर्भुज ABCD की भुजा AB आगे बिन्दु E तक बढ़ाई गई है। बहिष्कोण ∠ CBE का मान हैः
(i) 115°
(ii) 105°
(iii) 65°
(iv) 75°

उत्तर

प्रश्न 2.
पार्श्व चित्र में ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज इस प्रकार है कि AB || CD निम्नलिखित कथनों को पूरा कीजिए।

उत्तर
(i) ∠A+∠D = 180°, क्योंकि AB || DC तथा ये कोण अंतःकोण हैं।
(ii) ∠ B +∠D = 180°, क्योंकि ये कोण चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण हैं।
(iii) ∠A= ∠ B, क्योंकि ∠A+ ∠ D = 180°।

प्रश्न 3.
पाश्र्व चित्र में 3.42 में बिन्दु 0 वृत्त का केंद्र है। यदि जीवा AC = जीवा BC हो, तो ∠ABC तथा ∠ACB+∠APB का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर

प्रश्न 4.
पार्श्व चित्र में O वृत्त का केंद्र है और AOB व्यास है। वृत्त पर बिन्दु C और D इस प्रकार हैं कि ∠CAB = 30° और ∠ABD = 40°; ∠CAD और ∠CBD के मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर

प्रश्न 5.
पार्श्व चित्र में चतुर्भुज PQRS वृत्त के अंतर्गत बना है। यदि ∠R = 80° और ∠S = 85° हो, तो ∠P एवं ∠Q के मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर

प्रश्न 6.
पार्श्व चित्र में दो वृत्त एक दूसरे को बिन्दुओं P और Q पर प्रतिच्छेद करते हैं। चक्रीय चतुर्भुज APQC तथा BPQD इस प्रकार हैं कि APB तथा CQD रेखाखंड हैं। यदि ∠A=95° और ∠C= 80°, तो ∠ B, ∠D, ∠ APQ एवं ∠PQD ज्ञात कीजिए।
उत्तर

प्रश्न 7.
पाश्र्व चित्र में ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है। यदि ∠C= r° और ∠ A = 2x°, तो x का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर

दक्षता अभ्यास-13

प्रश्न 1. से प्रश्न 3. तक सही उत्तर छाँटिए

प्रश्न 1.
पार्श्व चित्र में O वृत्त का केंद्र है और OM ⊥ AB। यदि AB = 10 सेमी और OM = 4 सेमी, तो त्रिज्या OA की लम्बाई है:
(i) 5 सेमी
(ii) 3 सेमी
(iii) सेमी
(iv) सेमी
उत्तर

AM =AB = x 10 सेमी = 5 सेमी = BM,
OM = 4 FT (OM ⊥ AB)

प्रश्न 2.
पार्श्व चित्र में यदि ∠A= 80° और ∠ B = 85°, तो ∠ D का मान है :
(i) 145°
(ii) 85°
(iii) 80°
(iv) 95°
उत्तर

प्रश्न 3.
पार्श्व चित्र में O वृत्त का केंद्र है। जीवा AB = जीवा CD और ∠AOB = 70°, तो ∠OCD का मान है :
(i) 35°
(ii) 55°
(iii) 70°
(iv) 110°
उत्तर

प्रश्न 4.
पार्श्व चित्र में O वृत्त का केंद्र है। त्रिज्या OD, व्यास AB पर लम्ब है। यदि वृत्त पर एक बिन्दु C है, तो ∠ABD और ∠ BCD ज्ञात कीजिए।
उत्तर

प्रश्न 5.
पाश्र्व चित्र में ∆ABC एक समबाहु A है तथा D, E वृत्त पर दो बिन्दु हैं। ∠ BEC एवं ∠ BDC ज्ञात कीजिए।
उत्तर

प्रश्न 6.
पाश्र्व चित्र में एक वृत्त के अंतर्गत एक चक्रीय चतुर्भुज ABCD है। विकर्ण AC और BD खींचे गए हैं यदि ∠ ACB = 55° और ∠ BAC = 45°, तो ∠ADC ज्ञात कीजिए।
उत्तर

प्रश्न 7.
10 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त की एक जीवा 16 सेमी लम्बी है। केंद्र से जीवा की दूरी ज्ञात कीजिए।
उत्तर

प्रश्न 8.
एक वृत्त की एक जीवा की लम्बाई उसकी त्रिज्या के बराबर है। जीवा द्वारा केंद्र पर बने । कोण का मान बताइए।
उत्तर

प्रश्न 9.
2.5 सेमी सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए। इस वृत्त के केंद्र से 0.7 सेमी की दूरी पर एक जीवा खींचिए। इस जीवा की लम्बाई नाप कर ज्ञात कीजिए और गणना द्वारा उत्तर की जाँच कीजिए।
उत्तर

प्रश्न 10.
3.0 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए। इस वृत्त की दो जीवाए AB और CD खींचिए । जिसमें 4B = CD = 3 सेमी। प्रत्येक जीवा द्वारा केंद्र पर बने कोणों को नापिए। क्यों दोनों कोणों के मान समान हैं?
उत्तर

प्रश्न 11.
निम्नांकित आकृति ∠PQR = 100° है, जहाँ P, Q तथा R केन्द्र 0 वाले एक वृत्त पर स्थित बिन्दु है। ∠OPR ज्ञात कीजिए।
उत्तर

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