UP Board Solutions for Class 8 Maths Chapter 3 घनमूल

घनमूल

अभ्यास 3 (a)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित संख्याओं के घन ज्ञात कीजिए।
7, 12, 17, 19, 21, 100
उत्तर
7³ =7x7x7 = 343 ,
12³ = 12 x 12 x 12 = 1728
17³ = 17 x 17 x 17 = 4913
19³ = 19x 19×19 = 6859
21³ = 21 x 21 x 21 = 9261
100³ = 100 x 100 x 100 = 1000000

प्रश्न 2.
$\frac { -5 }{ 9 }$ का घन है :

उत्तर

प्रश्न 3.
निम्नांकित में से कौन-सी संख्याएँ पूर्ण घन हैं।
64, 216, 243, 900, 1728, 106480, 363000
उत्तर
64, 216, 1728

अभ्यास 3 (b)

प्रश्न 1.
8 तथा –8 के घनमूलों में कौन बड़ा है?
उत्तर
8 का घनमूल = $\sqrt [ 3 ]{ 8 }$ = $\sqrt [ 3 ]{ 2\times { 2 }\times { 2 } }$ =2
-8 का घनमूल = $\sqrt [ 3 ]{ -8 }$ = $\sqrt [ 3 ]{ \left( -2 \right) \times \left( -2 \right) \times \left( -2 \right) }$ =-2
अतः 8 का घनमूल बड़ा है।

प्रश्न 2.
32 में किस लघुतम पूर्ण संख्या से गुणा करें कि गुणनफल पूर्ण घन हो जाए?
उत्तर
$32=\overline { 2\times { 2 }\times { 2 } } \times 2\times 2$
समान गुणनखंडों के 3-3 के समूह (त्रिक) बनाने पर 2×2 बच जाता है। अतः यदि 32 में 2 की गुणा कर दी जाए तो गुणनफल पूर्ण घन बन जाएगा।

प्रश्न 3.
निम्नांकित में से कौन-सी संख्याएँ पूर्ण घन हैं?
(i) 432
(ii) 729
(iii) 13824
(iv) 42875
(v) 4608
(vi) 1125
(vii) 10976
(viii) 5832
उत्तर
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प्रश्न 4.
निम्नांकित संख्याओं का घनमूल ज्ञात कीजिए :
(i) 2744
(ii) 74088
(iii) 74088000
(iv) 134217728
(v) -2197
(vi) -10648
(vii) -64000
(vii) -17576
उत्तर
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प्रश्न 5.
2096 में किस छोटी से छोटी संख्या का भाग दें कि भागफल पूर्ण घन बन जाए?
उत्तर
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प्रश्न 6.
281216 में किस लघुतम पूर्ण संख्या का भाग दे कि भागफल पूर्ण घन बन जाए?
उत्तर
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प्रश्न 7.
9000 में किस लघुतम प्राकृतिक संख्या को गुणा करने पर गुणनफल पूर्ण घन बन जाएगा?
उत्तर
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प्रश्न 8.
83349 में किस ओटी से ओटी संख्या प्राकृतिक संख्या का गुणा करें कि गुणनफल पूर्ण घन बन जाए? प्राप्त इस नई संख्या का घनमूल ज्ञात कीजिए।
उत्तर
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प्रश्न 9.
(-15625) x512 का घनमूल ज्ञात कीजिए।
उत्तर
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प्रश्न 10.
1331 x (-1728) का घनमूल ज्ञात कीजिए।
उत्तर
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प्रश्न 11.
$\sqrt [ 3 ]{ 125\times { 343 } }$ का मान है :
(i) 35
(ii) 45
(iii) 15
(iv) 105
उत्तर
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अभ्यास 3 (c)

प्रश्न 1.
निम्नांकित को घनमूल ज्ञात कीजिए :
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उत्तर

प्रश्न 2
निम्नलिखित दशमलव संख्याओं का घनमूल मात कीजिएः
(i) 1.331
(ii) 42.875
(iii) 54.872
(iv) 74.088
(v) 5.832
(vi) 0.000729
उत्तर
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● प्रश्न 3 से लेकर 5 तक में, उत्तरों के विकल्पों में से ससे विकल्प चुनकर अपनी उत्तर पुस्तिका में लिखिएः

प्रश्न 3.
$\frac { 27 }{ 64 }$ का घनमूल है :

उत्तर

प्रश्न 4.
$3\frac { 3 }{ 8 }$ का घनमूल है :

उत्तर

प्रश्न 5.
0.000008 का घनमूल है :
(i) 02
(ii) 0.02
(iii) 0.002
(iv)0.004
उत्तर
0.000008 को घनमूल = $\sqrt [ 3 ]{ 0.000008 }$ = $\sqrt [ 3 ]{ \overline { 0.2\times { 0.2 }\times { 0.2 } } }$ = 0.02 (ii)

प्रश्न 6.
एक घनाकार कम्पोस्ट खाव के गॐ को आयतन 13.824 घन मी है। गॐ की गहराई ज्ञात कीजिए।
उत्तर
घनाकार गड्ढे का आयतन = 13.824 घन मी = $\frac { 13824 }{ 1000 }$ घन मी
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प्रश्न 7.
एक घनाकार बक्से का आयतन 8000 सेमी³ है इसकी एक भुजा ज्ञात कीजिए।
उत्तर
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अभ्यास 3 (d)

प्रश्न 1.
एक पेटी में सेब इस प्रकार रखे गए हैं कि प्रत्येक तह की प्रत्येक पंक्ति में उतने ही सेब हैं जितनी उस तह में पंक्तियाँ हैं। यदि तहों की कुल संख्या पंक्तियों की संख्या के समान हो तथा पेटी में कुल 1728 सेब रखे गए हों, प्रत्येक तह में कितने सेब रखे गए हैं?
उत्तर
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प्रश्न 2.
एक पेटी में 216 आम घन के रूप में सजाकर रखे गए हैं। ज्ञात कीजिए कि पेटी में आम की कितनी तहें हैं?
उत्तर
पेटी में कुल आम = 216
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प्रश्न 3.
एक सन्दूक में चाक के डिब्बे घन के रूप में रखे गए हैं। यदि कुल डिब्बों की संख्या 2744 हो, तो सन्दूक में एक तह में चाक के कितने डिब्बे हैं?
उत्तर
सन्दूक में रखे डिब्बों की संख्या = 2744
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प्रश्न 4.
एक शोरूम में काँच के रंगीन घन एक-दूसरे से सटाकर इस प्रकार रखे गए हैं कि वे एक बड़े घन का आकार ले लेते हैं। यदि इस प्रकार रखे गए रंगीन घनों की कुल संख्या 512 हो, तो ज्ञात कीजिए कि रंगीन धनों की कितनी तहों से उक्त घनाकृति बनी है।
उत्तर
रंगीन घनों की कुल संख्या = 512
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प्रश्न 5.
प्रधानमंत्री के राष्ट्रीय राहत कोष के लिए एक विद्यालय की एक कक्षा का प्रत्येक विद्यार्थी उस कक्षा के विद्यार्थियों की संख्या के वर्ग के बराबर पैसे चंदे में देता है। इस प्रकार यदि कुल चंदे की धनराशि रु० 15625 हो तो उस कक्षा में कुल कितने विद्यार्थी है
उत्तर
कुल चंदे की धनराशि = 15625 रु०

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प्रश्न 6.
एक घनाकार टंकी में 1331 लीटर पानी आता है। टंकी की माप ज्ञात कीजिए यदि 1000 लीटर पानी का आयतन 1 घन मीटर के बराबर होता है।
उत्तर
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दक्षता अभ्यास – 3

प्रश्न 1.
x का मान ज्ञात कीजिए यदि – 10³+x³ = 1³+12³
उत्तर
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प्रश्न 2.
निम्नांकित का घनमूल ज्ञात कीजिए।
(i) 250047
(ii) 110592
(iii) 1404928
(iv) 1771561
उत्तर
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प्रश्न 3.
निम्नांकित का घनमूल ज्ञात कीजिए।

उत्तर
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प्रश्न 4.
निम्नांकित का घनमूल ज्ञात कीजिए।
(i) 226.981
(ii) 0.373248
(iii) 0.000884736
(iv) 0.000001157
उत्तर
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प्रश्न 5.
उस ठोस धात्विक घन की कोर क्या होगी, जिसे पिघलाकर 3 सेमी, 4 सेमी और 6 सेमी कोर के तीन ठोस घन बनाए जा सकते हैं?
उत्तर
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प्रश्न 6.
दो ठोस धात्विक घनों की करें क्रमशः 9 सेमी एवं 10 सेमी हैं। उनको पिघलाकर उनके संयुक्त द्रव्यमान से सेमी आयतन के बराबर द्रव्यमान निकालकर अवशेष से एक नया ठोस घन बनाया जाता है। इसकी कोर ज्ञात कीजिए।
उत्तर
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प्रश्न 7.
वह छोटी से छोटी पूर्ण संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 963144 में भाग देने पर भागफल पूर्ण घन बन जाए।
उत्तर
963144 = $\overline { 2\times { 2 }\times { 2 } }$ x $\overline { 3\times { 3 }\times { 3 } }$ x $\overline { 7\times { 7 }\times { 7 } }$ x 13
अतः 963144 को 13 से भाग देने पर प्राप्त संख्या पूर्ण घन होगी।

प्रश्न 8.
26244 में किस छोटी से छोटी प्राकृतिक संख्या का गुणा करें कि गुणनफल पूर्ण घन बन जाए।
उत्तर
26244 = 2x2x $\overline { 3\times { 3 }\times { 3 } }$ x $\overline { 3\times { 3 }\times { 3 } }$ x3x3
अतः 26244 को पूर्ण घन बनाने के लिए 2×3 = 6 की गुणा करना पड़ेगा।

प्रश्न 9.
अभाज्य गुणनखंड ज्ञात कर बताइए कि क्या 2097152 पूर्ण घन है?
उत्तर
2097152 = $\overline { 2\times { 2 }\times { 2 } }$ x $\overline { 2\times { 2 }\times { 2 } }$ x $\overline { 2\times { 2 }\times { 2 } }$ x $\overline { 2\times { 2 }\times { 2 } }$ x $\overline { 2\times { 2 }\times { 2 } }$ x $\overline { 2\times { 2 }\times { 2 } }$ x $\overline { 2\times { 2 }\times { 2 } }$
$\sqrt [ 3 ]{ 2097152 }$ = 2x2x2x2x2x2x2= 128,
अतः 2097152 पूर्ण घन है।

प्रश्न 10.
6028.568 सेमी आयतन वाले घनाकार गैस चैम्बर की भुजा ज्ञात कीजिए।
उत्तर
घनाकार गैस चैम्बर का आयतन = 6028.568 सेमी³
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प्रश्न 11.
एक घनाभ की माप 98 सेमी x 42 सेमी x 18 सेमी है। इसके आयतन के बराबर वाले घन । की भुजा ज्ञात कीजिए।
उत्तर
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अतः घन की भुजा 42 सेमी है।

प्रश्न 12.
एक बॉक्स में काँच की 42875 गोलियाँ घन के रूप में रखी गई हैं। बॉक्स में गोलियों की कितनी तहें होंगी?
उत्तर
42875 = 5x5x5x7x7x7
$\sqrt [ 3 ]{ 42875 }$ = $\sqrt [ 3 ]{ \overline { 5\times { 5 }\times { 5 } } \times \overline { 7\times { 7 }\times { 7 } } }$ = 5×7 = 35
अतः गोलियों की 35 तहें हैं।

● प्रश्न 13 से लेकर 19 तक मैं उत्तर के दिए गए विकल्पों से सल्ले विकल्प अँटकर लिखिए :

प्रश्न 13.
एक घन का आयतन 6859 सेमी है। उसकी कोर है :
(i) 13 सेमी
(ii) 15 सेमी
(iii) 17 सेमी
(iv) 19 सेमी
उत्तर
घन का आयतन = 6859 सेमी³
घन की कोर = $\sqrt [ 3 ]{ 6859 }$ = $\sqrt [ 3 ]{ \overline { 19\times { 19 }\times { 19 } } }$ = 19 सेमी (iv)

प्रश्न 14.
$\left( -343\times 512 \right) ^{ 1/3 }$ का मान है :
(i)-56
(ii) -42
(iii) -84
(iv) 56
उत्तर
$\left( -343\times 512 \right) ^{ 1/3 }$ = $\left( -7\times -7\times -7\times 8\times 8\times 8 \right) ^{ 1/3 }$ = -7×8= -56 (i)

प्रश्न 15.
12, 18 और 25 से पूर्णतः विभाज्य छोटी से छोटी पूर्णघन संख्या है :
(i) 1200
(ii) 1800
(iii) 1800
(iii) 2700
(iv) 2700
उत्तर
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प्रश्न 16.
वह छोटी से छोटी संख्या जिसका 10,000 में गुणा करने पर गुणनफल पूर्ण घन बन जाता है, निम्नांकित होगी :
(i) 10
(ii) 25
(iii) 100
(iv) 80
उत्तर
10000 = $\overline { 2\times 2\times 2 }$ x 2 x $\overline { 5\times 5\times 5 }$ x 5
अतः 10000 को पूर्ण घन बनाने के लिए 2x2x5x5 = 100 (iii) की गुणा करनी पड़ेगी।

प्रश्न 17.
वह छोटी से छोटी संख्या जिसका 8192 में भाग देने पर भागफल पूर्ण घन बन जाता है, निम्नांकित होगी :
(i) 2
(ii) 4
(iii) 16
(iv) 32
उत्तर
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प्रश्न 18.
UP Board Solutions for Class 8 Maths Chapter 3 घनमूल 48
उत्तर

प्रश्न 19.
यदि ${ 2 }^{ n }-{ 2 }^{ n-1 }$ ‘ = 4 तो ${ n }^{ n }$ का मान होगा।
उत्तर
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प्रश्न 20.
एक घनाकार सन्दूक का भीतरी आयतन 32.768 मी है। उसकी भीतरी भुजा की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
उत्तर
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प्रश्न 21.
एक विद्यालय की प्रत्येक कक्षा में घनाकार कूड़ादान (डस्टबिन) रखा गया, जिसका आयतन 27000 घन सेमी है तो कूड़ेदान की एक भुजा ज्ञान कीजिए।
उत्तर
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प्रश्न 22.
एक बाग के कोने में बाग की साफ-सफाई से निकले खरपतवार से कम्पोस्ट खाद तैयार करने के लिए घनाकार गड्डा खोदा गया है। गड्डे से खोदी गयी मिट्टी का आयतन 10% बढ़ जाता है जिसे किसी ट्रैक्टर ट्राली में उसकी धारिता के अनुसार ठीक-ठीक भरकर कुल 5 बार में बाग से बाहर ले जाया जा रहा है। यदि ट्राली की माप 2.75 मी० x 2 मी० x 0.625 मी० हो तो खोदे गये गद्दे की गहराई ज्ञात कीजिए।
उत्तर
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